1) Вообще это верно, но в данном случае это не так. 2) Молча они расстались, чтобы никогда уже больше не встретиться. 3) Песня журчала, как лесной ключ, тихая, чистая, неиссякаемая. 4) Дыхание его переводилось с трудом, и, когда он попробовал приложить руку к сердцу, то почувствовал, что оно билось, как перепелка в клетке. 5) — Он не больной, — сказала Нина. 6) Будешь честно трудиться — горы свернешь. 7) Деньги исчезают, работа остается. 8) Долго они шли лесом, и горами, и быстрыми речками. 9) Скорбь утрат, усталость, боль разлуки, злость — все мы испытали. 10) Усталый и зноем томимый, он в роще дубовой прилег. 11) Зима начала хозяйничать над землей, но мы знали, что под рыхлым снегом, если разгрести его руками, еще можно найти свежие лесные цветы, знали, что в печах всегда будет трещать огонь, что с нами остались зимовать синицы, и зима показалась нам такой же прекрасной, как лето.

Разберу каждое предложение по пунктуации и коротко поясню, почему знаки стоят именно так.

1) Вообще это верно, но в данном случае это не так.

Запятая перед но ставится, потому что это сложносочиненное предложение.
Здесь две грамматические основы:

• это верно

• это не так

Союз но соединяет две части сложного предложения и выражает противопоставление.

2) Молча они расстались, чтобы никогда уже больше не встретиться.

Запятая перед чтобы нужна, потому что это сложноподчиненное предложение.
Главная часть: они расстались.
Придаточная часть: чтобы никогда уже больше не встретиться.

Придаточное отвечает на вопрос с какой целью?
Значит, это придаточное цели.

3) Песня журчала, как лесной ключ, тихая, чистая, неиссякаемая.

Тут две причины постановки запятых.

1. Запятая перед как:
   оборот как лесной ключ — это сравнительный оборот, поэтому он обособляется.

2. Тихая, чистая, неиссякаемая — это однородные определения, относящиеся к слову песня.
   Они перечисляются, поэтому между ними ставятся запятые.

По смыслу предложение можно понять так: песня журчала, как лесной ключ, и была тихой, чистой, неиссякаемой.

4) Дыхание его переводилось с трудом, и, когда он попробовал приложить руку к сердцу, то почувствовал, что оно билось, как перепелка в клетке.

Это довольно сложное предложение, здесь несколько знаков по разным причинам.

1. Запятая перед и
   Она ставится, потому что соединяются две части сложного предложения:

   • Дыхание его переводилось с трудом

   • он почувствовал

2. Когда он попробовал приложить руку к сердцу
   Это придаточное времени, оно стоит внутри второй части, поэтому выделяется с двух сторон запятыми.

3. Запятая перед что
   Начинается придаточное изъяснительное: что оно билось...

4. Запятая перед как перепелка в клетке
   Это сравнительный оборот.

Итого: предложение сложное, с разными видами подчинения и со сравнительным оборотом.

5) — Он не больной, — сказала Нина.

Это предложение с прямой речью.

Схема такая:
— П, — а.

Где:

• П — прямая речь: «Он не больной»

• а — слова автора: «сказала Нина»

Запятая и тире после прямой речи ставятся потому, что слова автора идут после прямой речи и разрывают общую конструкцию оформления диалога.

6) Будешь честно трудиться — горы свернешь.

Тире здесь стоит между частями бессоюзного сложного предложения.

Первая часть: Будешь честно трудиться
Вторая часть: горы свернешь

Смысловые отношения здесь можно передать так:
если будешь честно трудиться, то горы свернешь.

То есть тире ставится при значении условия и следствия.

7) Деньги исчезают, работа остается.

Это бессоюзное сложное предложение.
Две основы:

• деньги исчезают

• работа остается

Между частями ставится запятая, потому что части просто перечисляются, сопоставляются по смыслу, но между ними нет союза.

8) Долго они шли лесом, и горами, и быстрыми речками.

Здесь запятые не нужны.
Правильнее:

Долго они шли лесом и горами, и быстрыми речками.

Но и этот вариант выглядит стилистически сомнительно. Если разбирать по школьной норме, здесь однородные члены с повторяющимся союзом и. Однако важно, как именно устроен ряд.

Если автор хочет перечислить три однородных обстоятельства/дополнения:

• лесом

• горами

• быстрыми речками

то обычно пишут:

Долго они шли лесом, горами и быстрыми речками.

или при повторяющемся союзе:

Долго они шли и лесом, и горами, и быстрыми речками.

В том виде, как предложение дано, первая запятая перед и выглядит лишней.

9) Скорбь утрат, усталость, боль разлуки, злость — все мы испытали.

Здесь сначала идет ряд однородных членов:

• скорбь утрат

• усталость

• боль разлуки

• злость

Поэтому между ними стоят запятые.

Далее ставится тире перед словами все мы испытали, потому что после перечисления идет обобщающее слово/обобщающая конструкция.
По сути смысл такой: всё это мы испытали.

Это классическая схема:
однородные члены — обобщающее слово / итоговое обозначение.

10) Усталый и зноем томимый, он в роще дубовой прилег.

Усталый и зноем томимый — это обособленное распространенное определение, относящееся к местоимению он.

Почему оно выделяется запятой:

• стоит перед определяемым словом,

• имеет добавочное обстоятельственное значение,

• относится к личному местоимению он.

Именно определения при личном местоимении очень часто обособляются.

11) Зима начала хозяйничать над землей, но мы знали, что под рыхлым снегом, если разгрести его руками, еще можно найти свежие лесные цветы, знали, что в печах всегда будет трещать огонь, что с нами остались зимовать синицы, и зима показалась нам такой же прекрасной, как лето.

Это очень большое, многосоставное предложение. Разберем по частям.

1. Запятая перед но

Она отделяет части сложносочиненного предложения:

• Зима начала хозяйничать над землей

• но мы знали...

2. Запятая перед что

После слова знали идут придаточные изъяснительные:

• что под рыхлым снегом... еще можно найти свежие лесные цветы

• что в печах всегда будет трещать огонь

• что с нами остались зимовать синицы

То есть мы знали что именно? — дальше следует пояснение.

3. Если разгрести его руками

Это придаточное условия, вставленное внутрь первого придаточного, поэтому оно выделяется с двух сторон запятыми.

4. Почему после первого придаточного снова стоит знали

Это однородное сказуемое, фактически повтор для усиления и ритма:
мы знали..., знали...

5. Запятая перед и зима показалась нам...

Она отделяет следующую часть сложного предложения:

• зима показалась нам такой же прекрасной

6. Запятая перед как лето

Потому что это сравнительный оборот в конструкции такой же..., как...

Итог по всем предложениям

Если смотреть на них в целом, то здесь встречаются почти все основные случаи школьной пунктуации:

• запятая в сложносочиненном предложении;

• запятая в сложноподчиненном предложении;

• обособление сравнительного оборота;

• запятые при однородных членах;

• тире в бессоюзном сложном предложении;

• тире при обобщающем слове;

• знаки препинания при прямой речи;

• обособление определения.

Из всех примеров выбивается 8-е предложение: в данном виде оно оформлено неудачно, и запятая перед и там, скорее всего, ошибочна.