1. Я до гробовой доски не забуду его помощи. 2. Проблема теплоснабжения в полной мере коснулась нас в прошлом году. 3. В этом решении первую скрипку играл ваш покорный слуга. 4. Вспыльчивость можно назвать ахиллесовой пятой нашего нового руководителя. 5. Её потёртый костюм и фетровая шляпка видали виды, но осанка и походка были по-прежнему божественны.

Во всех пяти предложениях есть устойчивые выражения, но они немного разного типа: где-то это яркие фразеологизмы с образным значением, а где-то устойчивые сочетания, которые уже почти не ощущаются как образные.

1. «До гробовой доски» — это фразеологизм.
   Значение: до самой смерти, всю жизнь.
   В предложении: «Я до гробовой доски не забуду его помощи» — то есть человек никогда, пока жив, не забудет оказанную ему помощь.
   Выражение разговорное, эмоционально окрашенное.

2. «В полной мере» — это устойчивое сочетание.
   Значение: полностью, целиком, во всей степени.
   В предложении: «Проблема теплоснабжения в полной мере коснулась нас в прошлом году» — значит, проблема затронула людей очень серьезно, полностью проявилась в их жизни.
   Это выражение менее образное, чем остальные, ближе к книжной или нейтральной речи.

3. «Играть первую скрипку» — фразеологизм.
   Значение: быть главным, руководить, играть ведущую роль.
   В предложении: «В этом решении первую скрипку играл ваш покорный слуга» — то есть говорящий хочет сказать, что именно он был главным действующим лицом в принятии решения.
   Выражение связано с оркестром, где первая скрипка — ведущий музыкант.

4. «Ахиллесова пята» — фразеологизм книжного характера.
   Значение: слабое, уязвимое место.
   В предложении: «Вспыльчивость можно назвать ахиллесовой пятой нашего нового руководителя» — это значит, что вспыльчивость является его главным недостатком, слабой стороной.
   Выражение пришло из древнегреческого мифа об Ахиллесе.

5. «Видали виды» — фразеологизм.
   Значение: многое испытали, сильно изношены, побывали в употреблении, пережили многое.
   В предложении: «Её потёртый костюм и фетровая шляпка видали виды…» — значит, одежда старая, давно ношеная, потрёпанная жизнью.
   Это разговорное, выразительное сочетание.

Итак, в данных примерах можно выделить такие устойчивые выражения:
до гробовой доски, в полной мере, играть первую скрипку, ахиллесова пята, видали виды.

Если говорить точнее, то наиболее яркими фразеологизмами здесь являются:
до гробовой доски, играть первую скрипку, ахиллесова пята, видали виды.
Сочетание в полной мере тоже устойчивое, но по степени образности оно слабее и ближе к обычному речевому обороту.