Укажите слово с чередующейся гласной в корне: пожелал, подмигнул, уперёв, напряжённо.

Слово с чередующейся гласной в корне — уперёв.

В этом слове корень -пер-, который входит в группу корней с чередованием е//и:
-пер- / -пир-.

Правило такое: в корнях типа -бер-/-бир-, -дер-/-дир-, -мер-/-мир-, -пер-/-пир-, -тер-/-тир- пишется и, если после корня есть суффикс -а-. Если суффикса -а- нет, пишется е.

Например:
запереть — запирать,
упереться — упираться.

В слове уперёв после корня нет суффикса -а-, поэтому пишется е в корне -пер-.

Остальные слова не подходят:
пожелал — корень -жел-, чередующейся гласной нет;
подмигнул — корень -миг-, это не корень с чередованием;
напряжённо — здесь нет чередующейся гласной в корне, есть другое написание, связанное с образованием слова.

Ответ: уперёв.