Где обособляются и не обособляются обстоятельства и как это вообще происходит. 1. Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет. 2. Пена, тая, шипела и вздыхала. 3. Он шел не торопясь. 4. Гаврила молча греб и, тяжело дыша, искоса глядел туда. 5. День был жаркий, несмотря на перепадавшие дождики. 6. На другое утро, несмотря на упрашивание хозяев, Дарья Александровна собралась ехать. 7. Каждое утро, в шесть часов, я отправлялся на работы. 8. Батарейцы спали тут же, у орудий. 9. Внизу, под мостом, глубоко вздохнул паровоз, выбросив из могучей груди рой золотых светлячков.

Обстоятельство обособляется, когда оно выделяется по смыслу и интонации как добавочное сообщение: поясняет действие, уточняет место/время, выражает уступку, причину, условие и т. п. На письме это обычно показывается запятыми.

Обстоятельство не обособляется, когда оно тесно связано со сказуемым и воспринимается как обычный член предложения, без добавочного оттенка.

Разберём по вашим примерам.

1. Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет.

Здесь обособлено обстоятельство:

Возвратившись со смотра, Кутузов прошел в свой кабинет.

Это деепричастный оборот. Он обозначает добавочное действие: сначала Кутузов возвратился со смотра, потом прошёл в кабинет.

Деепричастные обороты обычно обособляются:

Возвратившись со смотра, Кутузов прошёл в кабинет.

Также в предложении есть обособленное определение:

Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошёл...

Но к обстоятельствам относится именно возвратившись со смотра.

2. Пена, тая, шипела и вздыхала.

Обособлено одиночное деепричастие:

Пена, тая, шипела и вздыхала.

Слово тая обозначает добавочное действие: пена шипела и вздыхала, одновременно тая.

Одиночные деепричастия обычно обособляются, если сохраняют значение добавочного действия:

Пена, тая, шипела.

То есть можно мысленно развернуть:
Пена шипела и вздыхала, когда таяла.

3. Он шел не торопясь.

Здесь обстоятельство не обособляется.

Не торопясь — это тоже форма деепричастия, но в данном случае оно утратило значение добавочного действия и стало обстоятельством образа действия. По смыслу оно близко к наречию:

Он шел медленно.
Он шел спокойно.
Он шел не торопясь.

Здесь не два действия: «шел» и «не торопился», а один способ действия — как шел? не торопясь.

Поэтому запятая не нужна.

Сравните:

Не торопясь, он обдумывал ответ.
Здесь можно почувствовать добавочное действие: он не торопился и обдумывал.

Он шел не торопясь.
Здесь это просто образ действия.

4. Гаврила молча греб и, тяжело дыша, искоса глядел туда.

В этом предложении два обстоятельства:

1. молча — не обособляется;

2. тяжело дыша — обособляется.

Молча — обычное наречие, обстоятельство образа действия:

Гаврила греб как? молча.

Запятая не нужна.

А вот тяжело дыша — деепричастный оборот. Он обозначает добавочное действие:

Гаврила глядел туда, тяжело дыша.

То есть он глядел и одновременно тяжело дышал.

Поэтому:

Гаврила молча греб и, тяжело дыша, искоса глядел туда.

Запятые стоят с двух сторон, потому что оборот находится внутри части предложения.

5. День был жаркий, несмотря на перепадавшие дождики.

Здесь обособляется обстоятельство уступки:

День был жаркий, несмотря на перепадавшие дождики.

Обороты с несмотря на обычно обособляются, потому что они имеют уступительное значение:
вопреки чему? несмотря на что?

Смысл такой:

День был жаркий, хотя временами шли дождики.

Поэтому запятая нужна.

6. На другое утро, несмотря на упрашивание хозяев, Дарья Александровна собралась ехать.

Здесь тоже обособлен оборот с несмотря на:

На другое утро, несмотря на упрашивание хозяев, Дарья Александровна собралась ехать.

Это обстоятельство уступки. Смысл:

Дарья Александровна собралась ехать, хотя хозяева её упрашивали остаться.

Оборот стоит в середине предложения, поэтому выделяется запятыми с двух сторон.

7. Каждое утро, в шесть часов, я отправлялся на работы.

Здесь обособляется уточняющее обстоятельство времени:

Каждое утро, в шесть часов, я отправлялся на работы.

Сначала дано более общее время: каждое утро.
Потом оно уточняется: в шесть часов.

То есть в шесть часов отвечает на тот же вопрос времени, но конкретизирует первое обстоятельство.

Схема такая:

Когда? — каждое утро.
А именно когда? — в шесть часов.

Уточняющие обстоятельства обособляются:

Летом, в июле, мы жили на даче.
Там, за рекой, начинался лес.
Каждое утро, в шесть часов, я отправлялся на работы.

8. Батарейцы спали тут же, у орудий.

Здесь обособляется уточняющее обстоятельство места:

Батарейцы спали тут же, у орудий.

Сначала говорится общее место: тут же.
Потом оно уточняется: у орудий.

Смысл:

Батарейцы спали тут же, а именно у орудий.

Поэтому ставится запятая.

9. Внизу, под мостом, глубоко вздохнул паровоз, выбросив из могучей груди рой золотых светлячков.

В этом предложении есть два случая обособления.

Первое:

Внизу, под мостом, глубоко вздохнул паровоз.

Здесь под мостом — уточняющее обстоятельство места.

Сначала сказано общее место: внизу.
Потом уточняется: где именно внизу? под мостом.

Поэтому:

Внизу, под мостом, глубоко вздохнул паровоз.

Второе:

паровоз глубоко вздохнул, выбросив из могучей груди рой золотых светлячков.

Это деепричастный оборот. Он обозначает добавочное действие:

паровоз вздохнул и при этом выбросил рой золотых светлячков.

Поэтому оборот обособляется запятой.

Главное правило

Обстоятельства чаще всего обособляются в трёх случаях.

1. Деепричастия и деепричастные обороты

Обычно обособляются:

Возвратившись со смотра, Кутузов прошёл в кабинет.
Пена, тая, шипела.
Гаврила, тяжело дыша, глядел туда.
Паровоз вздохнул, выбросив рой светлячков.

Но не обособляются такие формы, которые стали почти наречиями и обозначают образ действия:

Он шел не торопясь.
Она сидела молча.
Он работал не покладая рук.
Они слушали затаив дыхание.

Здесь главное — понять, есть ли добавочное действие. Если есть — обособляем. Если это просто ответ на вопрос как? каким образом? — обычно не обособляем.

2. Обороты с уступительным значением

Часто обособляются обстоятельства с предлогами и сочетаниями:

несмотря на,
невзирая на,
вопреки,
при всём,
за неимением,
вследствие,
благодаря,
согласно — в зависимости от смысла и распространённости.

В ваших примерах:

День был жаркий, несмотря на перепадавшие дождики.
На другое утро, несмотря на упрашивание хозяев, Дарья Александровна собралась ехать.

Оборот с несмотря на легко заменить на придаточное с хотя, поэтому запятые нужны.

3. Уточняющие обстоятельства

Обособляются обстоятельства, которые уточняют предыдущее обстоятельство.

Примеры из ваших предложений:

Каждое утро, в шесть часов, я отправлялся на работы.
Батарейцы спали тут же, у орудий.
Внизу, под мостом, глубоко вздохнул паровоз.

Уточнение обычно можно проверить словами:

а именно,
то есть,
именно там,
именно тогда.

Например:

Батарейцы спали тут же, а именно у орудий.
Каждое утро, а именно в шесть часов, я отправлялся на работы.
Внизу, именно под мостом, вздохнул паровоз.

По каждому предложению кратко

1. Возвратившись со смотра, — обособляется, деепричастный оборот.

2. тая — обособляется, одиночное деепричастие.

3. не торопясь — не обособляется, потому что стало обстоятельством образа действия.

4. молча — не обособляется, наречие; тяжело дыша — обособляется, деепричастный оборот.

5. несмотря на перепадавшие дождики — обособляется, обстоятельство уступки.

6. несмотря на упрашивание хозяев — обособляется, обстоятельство уступки.

7. в шесть часов — обособляется, уточнение времени.

8. у орудий — обособляется, уточнение места.

9. под мостом — обособляется, уточнение места; выбросив из могучей груди рой золотых светлячков — обособляется, деепричастный оборот.