Пишется три бочка или три бочки

Правильно: три бочки.

Слово «бочка» — существительное женского рода. После числительных две, три, четыре такие существительные обычно ставятся в форме родительного падежа единственного числа.

Примеры:

одна бочка
две бочки
три бочки
четыре бочки
пять бочек

Форма «бочка» употребляется с числительным одна: одна бочка. Поэтому «три бочка» — это ошибка.

Итак, верный вариант: три бочки.