К какому спряжению относятся глаголы, оканчивающиеся на -ять? Например: зате...те игру (вместо точек нужно вставить гласную Е или И). Объясните графически выбор гласной.

Я разберу правило именно для выбора Е/И в личном окончании и отдельно отмечу важную оговорку: не все глаголы на -ять автоматически ведут себя одинаково.

Глаголы, оканчивающиеся в неопределённой форме на -ять, обычно относятся к I спряжению, если это не особый случай типа стоять, бояться, которые спрягаются по II спряжению: стоишь, стоит, стоите; боишься, боится, боитесь.

В вашем примере глагол — затеять.

Ставим его в нужную форму:

вы что сделаете? — затеете игру

Пишется: затеете, с буквой Е.

Графически это можно показать так:

затеять
зате-я-ть — неопределённая форма, оканчивается на -ять
⇒ I спряжение
⇒ личные окончания I спряжения: -ешь, -ет, -ем, -ете, -ут/-ют
⇒ вы зате-ете игру

Итак:

зате + ете = затеете

Вставляем букву Е, потому что у глагола затеять форма 2-го лица множественного числа будущего времени имеет окончание -ете, а это окончание I спряжения.