Какой корень в слове "носилась"?

В слове «носилась» корень — нос-.

Разбор слова по составу:

нос-и-л-а-сь

Где:

нос- — корень,
-и- — суффикс,
-л- — суффикс прошедшего времени,
-а — окончание,
-сь — возвратный постфикс.

Слово «носилась» образовано от глагола «носиться», связанного со словами «носить», «носится», «носился». Общая значимая часть этих слов — нос-, поэтому именно она является корнем.