1. Кроме основных занятий, у нас во второй половине дня проводятся факультативные занятия по освоению второй специальности — программиста. 2. Что может быть печальнее, чем равнодушие учителя к судьбам своих воспитанников? 3. Статья представляет собой результат социологических исследований автора. 4. В отделе библиографии систематически публикуются обзоры новинок литературы.

Во всех четырёх предложениях нужно оценить речевую правильность. Ошибки есть в 1, 3 и 4. Второе предложение построено нормально.

1. Кроме основных занятий, у нас во второй половине дня проводятся факультативные занятия по освоению второй специальности — программиста.

Здесь есть речевая неточность: «специальность — программиста» звучит неудачно. Программист — это не сама специальность в строгом смысле, а профессия, квалификация, человек, владеющий программированием. Лучше сказать: «второй профессии — программиста» или «специальности программиста», но первый вариант естественнее.

Кроме того, есть повтор: «занятий — занятия». Он не делает предложение совсем неправильным, но стилистически утяжеляет его.

Возможная правка:

Кроме основных уроков, во второй половине дня у нас проводятся факультативы по освоению второй профессии — программиста.

Или:

Кроме основных занятий, во второй половине дня у нас проводятся факультативы по программированию.

2. Что может быть печальнее, чем равнодушие учителя к судьбам своих воспитанников?

Это предложение корректное. Оно грамматически и стилистически нормально построено. Сравнительный оборот «печальнее, чем...» употреблён правильно. Сочетание «равнодушие к судьбам воспитанников» тоже допустимо.

3. Статья представляет собой результат социологических исследований автора.

Здесь речевая неточность связана с выражением «статья представляет собой результат исследований». Статья не совсем «результат исследований»; точнее сказать, что в статье изложены результаты исследований или что статья написана на основе исследований.

Возможная правка:

В статье представлены результаты социологических исследований автора.

Или:

Статья написана на основе социологических исследований автора.

4. В отделе библиографии систематически публикуются обзоры новинок литературы.

Здесь ошибка в выборе слова: «в отделе библиографии» звучит неудачно, если речь идёт о части журнала, газеты, сборника. В таком случае лучше употребить слово «раздел»: «в разделе библиографии».

Если же имеется в виду учреждение или подразделение, то оно не может быть местом публикации в таком виде: публикуют не «в отделе», а, например, отдел публикует.

Возможная правка:

В разделе библиографии систематически публикуются обзоры новинок литературы.

Или:

Отдел библиографии систематически публикует обзоры новинок литературы.

Итак, правильное предложение без речевой ошибки — № 2. Ошибки или стилистические неточности содержатся в предложениях 1, 3 и 4.