Объясните расстановку знаков препинания в предложении: Она танцевала страстно, с увлечением и вальс, и польку, и кадриль, угорая от музыки и шума, мешая русский язык с французским, картавя, смеясь и не думая о муже, ни о ком и ни о чём.

В предложении:

Она танцевала страстно, с увлечением и вальс, и польку, и кадриль, угорая от музыки и шума, мешая русский язык с французским, картавя, смеясь и не думая о муже, ни о ком и ни о чём.

знаки препинания связаны в основном с однородными членами предложения и деепричастными оборотами.

Грамматическая основа предложения: она танцевала.

Главное действие — танцевала. Всё остальное поясняет, как, что именно и в каком состоянии она танцевала.

Первую запятую ставим после слова страстно:

Она танцевала страстно, с увлечением...

Слова страстно и с увлечением обозначают образ действия: танцевала как? — страстно, с увлечением. Это однородные обстоятельства. Между ними нет союза, поэтому ставится запятая.

Далее идёт ряд однородных дополнений:

и вальс, и польку, и кадриль

Она танцевала что? — вальс, польку, кадриль.

Повторяющийся союз и... и... и... усиливает перечисление. При повторяющихся союзах между однородными членами ставятся запятые:

и вальс, и польку, и кадриль

Поэтому запятые стоят между словами вальс, польку, кадриль.

После слова кадриль ставится запятая, потому что дальше начинается деепричастный оборот:

угорая от музыки и шума

Деепричастный оборот обозначает добавочное действие: она танцевала и при этом угорала от музыки и шума. Деепричастные обороты на письме обычно обособляются запятыми.

Следующий деепричастный оборот:

мешая русский язык с французским

Он тоже обозначает добавочное действие: она танцевала, мешая русский язык с французским. Поэтому он отделяется запятыми.

Далее идут одиночные деепричастия:

картавя, смеясь и не думая

Они тоже относятся к сказуемому танцевала и обозначают добавочные действия или состояния: танцевала, картавя, смеясь, не думая.

Между картавя и смеясь ставится запятая, потому что это однородные деепричастия без союза:

картавя, смеясь

А между смеясь и не думая запятая не ставится, потому что они соединены одиночным союзом и:

смеясь и не думая

После слов не думая о муже ставится запятая перед сочетанием:

ни о ком и ни о чём

Здесь выражения о муже, ни о ком, ни о чём связаны по смыслу: она не думала о ком? о чём? — о муже, ни о ком и ни о чём. Слова ни о ком и ни о чём имеют присоединительно-уточняющий характер: они усиливают отрицание и расширяют мысль — не думала не только о муже, а вообще ни о ком и ни о чём. Поэтому перед ними ставится запятая.

Внутри сочетания ни о ком и ни о чём запятая не нужна, потому что однородные дополнения соединены одиночным союзом и:

ни о ком и ни о чём

Итак, схема предложения примерно такая:

Она танцевала
как? — страстно, с увлечением;
что? — и вальс, и польку, и кадриль;
что делая? — угорая от музыки и шума, мешая русский язык с французским, картавя, смеясь и не думая о муже, ни о ком и ни о чём.

Основные правила здесь такие: запятыми разделяются однородные члены без союза или с повторяющимся союзом и, а также обособляются деепричастия и деепричастные обороты.