Объясните, почему «запрещённый» пишется с двумя Н.

Слово «запрещённый» пишется с двумя Н, потому что это полное страдательное причастие прошедшего времени.

Оно образовано от глагола запретить:
запретить → запрещённый.

По правилу в полных страдательных причастиях прошедшего времени пишется НН, если слово образовано от глагола совершенного вида. Глагол запретить отвечает на вопрос что сделать?, значит, он совершенного вида. Поэтому в причастии запрещённый пишутся две буквы Н.

Можно проверить и по смыслу: запрещённый — это «такой, который запретили». Например:

запрещённый приём,
запрещённый препарат,
запрещённая тема.

Здесь слово обозначает признак по действию и сохраняет связь с глаголом запретить, поэтому это именно причастие, а не обычное прилагательное.

Важно не путать с краткой формой. В кратких страдательных причастиях пишется одна Н:

приём запрещён,
тема запрещена,
вещество запрещено.

Но в полной форме правильно: запрещённый — с двумя Н.