Забурлила под кормой вода, и матрос ловко поймал брошенный ему с борта канат.

Это сложносочинённое предложение, состоящее из двух частей, соединённых союзом и:

Забурлила под кормой вода, и матрос ловко поймал брошенный ему с борта канат.

Грамматические основы:

1. вода забурлила;

2. матрос поймал.

Запятая перед союзом и нужна, потому что союз соединяет две самостоятельные части сложного предложения, у каждой есть своя грамматическая основа.

Разбор членов предложения:

• Забурлила — сказуемое.

• Вода — подлежащее.

• Под кормой — обстоятельство места.

Во второй части:

• Матрос — подлежащее.

• Поймал — сказуемое.

• Ловко — обстоятельство образа действия.

• Канат — дополнение.

• Брошенный — определение, выраженное причастием.

• Ему — дополнение при причастии «брошенный».

• С борта — обстоятельство места при причастии «брошенный».

Схема предложения:

[Вода забурлила], и [матрос поймал канат].

Оборот брошенный ему с борта стоит перед определяемым словом канат, поэтому запятыми не выделяется.