Без какой части слово не может существовать?

Слово не может существовать без корня. Корень — это основная значимая часть слова, которая несёт его главное лексическое значение. Именно корень связывает слово с его однокоренными словами и определяет, к какой семантической группе оно относится.

Например:

• В слове "дом" корень — "дом". Это центральная часть слова, которая сохраняет смысл во всех производных: "домик", "домовой", "домашний".
• В слове "учитель" корень — "уч". Он также сохраняется в производных: "учение", "учить", "ученик".

Без корня слово теряет своё значение и не может быть осмысленным. Другие части слова, такие как приставки, суффиксы и окончания, добавляют дополнительную информацию (грамматическую или лексическую), но без корня эти элементы не могут сформировать полноценное слово.

Исключение составляют слова-основы, состоящие только из корня, например "дом", "мир", "лес". Эти слова являются минимальными единицами речи, которые уже имеют смысл благодаря своему корню.