Как пишется: "прийдут" или "придут"?

Правильно писать «придут».

Форма «прийдут» является ошибочной и не соответствует нормам современного русского литературного языка. Эта ошибка довольно распространена, особенно в устной речи, но в письменной речи, особенно официальной или учебной, её следует избегать.

Вот почему правильно именно «придут»:

? Глагол «придут» — это форма будущего времени от глагола «прийти» в третьем лице множественного числа.
? В русском языке при спряжении глагола «прийти» в будущем времени происходит чередование корня: в формах будущего времени исчезает «й».
? То есть:
– Я приду
– Ты придёшь
– Он/она/оно придёт
– Мы придём
– Вы придёте
– Они придут

Как видно, во всех формах корень — «прид-», а не «прийд-».

? Ошибка «прийдут» возникает по аналогии с инфинитивом «прийти», где действительно есть буква «й», но в личных формах она исчезает.

? Запомни: правильно — они придут, а не прийдут.

Если тебе нужно запомнить это на будущее, можешь использовать фразу как мнемонику:
«Они придут, как бы ты ни ждал, а "й" с собой не возьмут» ?