Как пишется "мечОМ" или "мечЁМ"?

Правильный вариант написания — «мечом», с буквой "о" в окончании.

Это творительный падеж слова «меч», и в подобных случаях ударение падает на окончание, а не на корень. В русском языке в безударном положении после шипящих (ж, ш, ч, щ) в окончаниях существительных пишется буква "о", а не "ё". Например: врачом, ножом, плащом — и так же правильно будет мечом.

Форма «мечём» с буквой "ё" встречается как орфографическая ошибка. Хотя при произношении может казаться, что там звучит "ё", на письме всё равно нужно писать "о" — это правило русского языка.

Таким образом, правильно писать «мечом».