Как пишется: "с мячем" или "с мячом"?

Правильный вариант написания — "с мячом".

Это связано с тем, что при употреблении предлога "с" перед словами, оканчивающимися на твёрдый согласный (например, "мяч"), следует использовать форму творительного падежа слова, в которой согласные склоняются. В данном случае "мяч" в творительном падеже имеет форму "мячом".

Форма "с мячем" является ошибочной, потому что в русском языке нет такой формы существительного в творительном падеже.