Какое утверждение верно?
1. При рождении ребёнка вне брака отцовство может быть установлено только на основании совместного заявления родителей в орган ЗАГС.
2. Если ребёнка родила мать, не состоящая в браке, а отцовство не установлено, ребёнок получает её фамилию, а сведения об имени и отчестве отца в свидетельстве о рождении записываются с её слов.

Верно второе утверждение.

Разберём оба варианта:

1. «При рождении ребёнка вне брака отцовство может быть установлено только на основании совместного заявления родителей в орган ЗАГС».
Это утверждение неверно. Если родители ребёнка не состоят в браке, отцовство действительно может быть установлено по совместному заявлению отца и матери в орган ЗАГС. Но это не единственный способ. Отцовство также может быть установлено в судебном порядке, если, например, отец не признаёт своё отцовство или отсутствует согласие родителей.

2. «Если ребёнка родила мать, не состоящая в браке, а отцовство не установлено, ребёнок получает её фамилию, а сведения об имени и отчестве отца в свидетельстве о рождении записываются с её слов».
Это утверждение верно. Если мать не состоит в браке и отцовство официально не установлено, запись об отце в актовой записи о рождении производится по желанию матери. При этом сведения об отце (фамилия, имя, отчество) могут быть внесены со слов матери, а фамилия ребёнка обычно определяется по фамилии матери.

Таким образом, правильный ответ: верно только утверждение 2.