Имеют ли мхи побеги?

Коротко: в бытовом смысле «побегов» у мхов как бы видно, а в строгом ботаническом — настоящих побегов у них нет.

Подробно. У высших сосудистых растений побег — это ось (стебель) с листьями и почками, построенная с узлами и междоузлиями и снабжённая развитой проводящей системой. У мхов доминирует гаметофит, и то, что мы принимаем за «стебелёк с листочками», — это не настоящий побег, а особая структура гаметофита: каулоид (ось) и филлоиды (листоподобные пластинки). Они не гомологичны настоящим стеблям и листьям, у них обычно нет почек в привычном смысле, узлов и междоузлий, а проводящая система если и есть, то примитивная (гидроиды и лептоиды вместо ксилемы и флоэмы).

Корней у мхов тоже нет — их роль выполняют ризоиды. Спорофит (то есть «коробочка на ножке») паразитирует на гаметофите и тоже не является побегом.

Итого: говорить «у мхов есть побеги» некорректно. Правильнее — у них есть побегоподобный листостебельный гаметофит (каулоид с филлоидами), а настоящих побегов, как у сосудистых растений, нет.