Лифт
Чтобы поднять на N-й этаж M-этажного дома новый холодильник, Витя вызвал бригаду грузчиков. Оплата работы грузчиков производится так: за подъем холодильника на один этаж требуется заплатить 200 рублей, за спуск на один этаж — 100 рублей. За подъем и спуск на лифте плата не взимается. Несмотря на то, что в Витином доме есть лифт, ему возможно все же придется заплатить грузчикам, поскольку лифт останавливается только на каждом K-м этаже, начиная с первого (то есть на этажах с номерами 1, K+1, 2K+1, 3K+1, …). Требуется вычислить, какой минимальной суммы денег достаточно, чтобы грузчики доставили холодильник с первого этажа на N-й. Pascal

Задача заключается в том, чтобы минимизировать стоимость работы грузчиков, при этом принимая во внимание особенности работы лифта. Давайте разобьем решение задачи на несколько этапов.

Условия задачи:

• Нужно поднять холодильник с 1-го этажа на N-й в M-этажном доме.
• Лифт останавливается только на каждом K-м этаже (то есть, на этажах с номерами 1, K+1, 2K+1 и так далее).
• Стоимость подъема холодильника на один этаж — 200 рублей.
• Стоимость спуска холодильника на один этаж — 100 рублей.
• Лифт бесплатный, но из-за его особенностей иногда может потребоваться помощь грузчиков, которые возьмут деньги за подъем и спуск.

Алгоритм решения:

1. Понимание работы лифта: Лифт останавливается только на этажах вида $1 + m \cdot K$, где $m$ — это целое число. То есть, если $K = 3$, лифт будет останавливаться на 1, 4, 7 и так далее.

2. Подъем с 1-го этажа на N-й: Мы должны выяснить, на каком этаже остановится лифт, и если лифт не может довезти холодильник прямо на N-й этаж, то грузчики должны будут сделать дополнительные перемещения.

3. Рассмотрение всех вариантов пути: Задача сводится к нахождению ближайших этажей, на которых лифт останавливается, и минимизации затрат, связанных с использованием лифта и дополнительными подъемами и спусками грузчиков.

Подробное решение:

1. Лифт может довезти до какого-то этажа, который находится ближе всего к N. Нам нужно найти ближайший этаж, на котором лифт может остановиться, и от этого этажа использовать грузчиков для подъема или спуска на нужный этаж.

2. Рассчитываем возможные этажи, на которых лифт останавливается:

   • Если $N$ — это этаж, на котором лифт останавливается, то дополнительных затрат на грузчиков не будет.
   • Если $N$ не является таким этажом, то необходимо подняться или спуститься на ближайший этаж, на котором лифт остановится, и затем уже поднять или спустить холодильник до нужного этажа.

3. Вычисление стоимости: Чтобы найти минимальную стоимость доставки, нам нужно:

   • Найти ближайший этаж, на котором лифт остановится.
   • Посчитать расходы на подъем или спуск с этого этажа.

Пошаговое решение:

1. Проверяем, на каком этаже остановится лифт. Для этого определим два возможных этажа, на которых лифт может остановиться:

   • Этаж ниже или равный N, ближайший к N (будет иметь вид $1 + m \cdot K$).
   • Этаж выше или равный N, ближайший к N (будет иметь вид $1 + m \cdot K$).

   Для этого нужно определить два числа:

   • $\text{floor}(N / K) \cdot K$ — ближайший этаж, на котором лифт может остановиться, не превышая N.
   • $(\text{floor}(N / K) + 1) \cdot K$ — ближайший этаж, на котором лифт может остановиться, не меньше N.

2. Выбираем между подъемом и спуском:

   • Если лифт останавливается выше N, то необходимо будет спуститься с этого этажа, что стоит 100 рублей за этаж.
   • Если лифт останавливается ниже N, то нужно подняться, что стоит 200 рублей за этаж.

3. Вычисляем минимальные расходы: В итоге минимальная стоимость будет зависеть от того, какой путь будет дешевле — подниматься или спускаться на ближайший этаж, на котором останавливается лифт, а затем доехать на лифте.

Пример:

Предположим, что в доме 10 этажей (M = 10), лифт останавливается на каждом 3-м этаже (K = 3), а холодильник нужно поднять с 1-го на 10-й этаж (N = 10).

1. Ближайший этаж, на котором лифт может остановиться, — это этаж 9 (так как $1 + 3 \cdot 3 = 9$).
2. Разница между этажами 10 и 9 — 1 этаж. Это означает, что холодильник нужно поднять на 1 этаж. Стоимость подъема — 200 рублей.
3. Лифт довезет до 9-го этажа, и затем грузчики поднимут холодильник еще на 1 этаж.

Итого, минимальная стоимость доставки холодильника будет:

• 200 рублей за подъем с 9-го на 10-й этаж.

Ответ: 200 рублей.

Вывод:

Для решения задачи нужно:

1. Найти ближайший этаж, на котором лифт останавливается.
2. Рассчитать минимальные затраты на подъем или спуск, если лифт не может точно дойти до нужного этажа.
3. Определить минимальную сумму для выполнения задачи.