Выражение 2^2015 + 2^2014 + ... + 2^0 + 6 перевели в двоичную систему счисления. Сколько нулей в этой записи?

Ответ: 2014 нулей.

Решение:

Дано выражение:

1. Найдём сумму степеней двойки.

Воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии:

Тогда исходное выражение можно записать так:

2. Переведём число в двоичную систему счисления.

Заметим, что:

Следовательно,

В двоичной записи этого числа единицы будут стоять только в трёх разрядах: с номерами 2016, 2 и 0. Все остальные разряды будут содержать нули.

3. Подсчитаем количество нулей.

Поскольку старшая единица находится в разряде с номером 2016, всего в двоичной записи будет:

Из них 3 цифры — единицы.

Значит, количество нулей равно:

Ответ: 2014.