Если нарисовать правильный треугольник со стороной n и разделить его на правильные треугольники со стороной 1, то получится n2 маленьких треугольников. Например, при n = 3 (см. рисунок) получится 9 маленьких треугольников.

А какая будет длина всех проведённых при этом линий? Например, при n = 3 длина всех линий равна 18.
Ответом на эту задачу является некоторое выражение, которое может содержать целые числа, переменную n, операции сложения (обозначаются «+»), вычитания (обозначаются «−»), умножения (обозначаются «*»), деления (обозначаются «/») и круглые скобки для изменения порядка действий. Запись вида «2n» для обозначения произведения числа 2 и переменной n неверная, нужно писать «2 * n». Выражение вида n2 нужно записывать с использованием операции умножения: «n * n».
Ваше выражение должно давать правильный ответ для любых n, например, для n = 3 значение выражения должно быть равно 18.
Пример правильной формы записи ответа.
(n + 1) * (n - 2) / 2
​

Задача заключается в том, чтобы найти общую длину всех линий, которые проводятся при разделении правильного треугольника со стороной $n$ на маленькие правильные треугольники с длиной стороны 1.

Шаг 1. Строим структуру треугольника

Если у нас есть правильный треугольник с длиной стороны $n$, то мы можем разделить его на маленькие правильные треугольники с длиной стороны 1. Как говорится в условии, количество таких маленьких треугольников равно $n^2$, то есть квадрат длины стороны большого треугольника.

Шаг 2. Линии, которые разделяют треугольник

Чтобы разделить этот треугольник на маленькие треугольники, необходимо провести линии. Нам нужно найти длину всех этих линий.

1. Горизонтальные линии. Эти линии проводятся параллельно основанию большого треугольника и делят его на строки маленьких треугольников. В каждом ряду будет $n$ треугольников. Всего таких линий будет $n-1$ (одна линия на каждую границу между рядами треугольников).

2. Диагональные линии. Для каждого ряда существуют диагонали, соединяющие вершины маленьких треугольников. Каждая диагональная линия соединяет вершины двух треугольников, и таких диагональных линий будет также $n-1$ для каждой стороны. Учитывая, что у нас три стороны большого треугольника, общее количество диагональных линий будет $3(n-1)$.

Шаг 3. Подсчитаем длину всех линий

1. Горизонтальные линии: Каждая горизонтальная линия длиной $n$, и таких линий $n-1$. Общее количество длины горизонтальных линий:

   $$(n - 1) \times n$$

2. Диагональные линии: Каждая диагональная линия также будет иметь длину $n$, и их всего $3(n - 1)$. Общее количество длины диагональных линий:

   $$3 \times (n - 1) \times n$$

Шаг 4. Суммируем длину всех линий

Теперь, чтобы найти общую длину всех линий, нужно сложить длину горизонтальных и диагональных линий:

Вынесем общий множитель $(n - 1) \times n$:

Ответ

Общая длина всех линий, которые разделяют большой треугольник на маленькие, равна: