Потребитель тратит свой доход в размере 100 руб. на приобретение молока и хлеба. Стоимость продуктов питания: Рм = 10 руб/л, Рхл = 5 руб/кг. Предпочтения потребителя описываются функцией полезности: U(xм, xхл) = xм1/4  xхл1/2. Установите, насколько изменится оптимальный набор потребителя, если его доход возрастет в 2 раза.

Давайте разберемся с этим вопросом последовательно. Здесь у нас задано несколько важных данных: доход потребителя (100 руб.), цены на молоко и хлеб (10 руб. за литр и 5 руб. за кг соответственно), и функция полезности $U(x_m, x_{хл}) = x_m^{1/4} \cdot x_{хл}^{1/2}$, которая описывает предпочтения потребителя относительно молока и хлеба.

Шаг 1: Определение начального оптимального набора

Первым делом рассчитаем, сколько молока и хлеба потребитель будет покупать при доходе 100 руб. Чтобы это определить, мы применим метод Лагранжа, чтобы найти оптимальный набор потребителя.

1. Составим бюджетное ограничение: $P_m \cdot x_m + P_{хл} \cdot x_{хл} = I$ где:

• $P_m = 10$ руб./л — цена молока,
• $P_{хл} = 5$ руб./кг — цена хлеба,
• $I = 100$ руб. — доход потребителя.

Тогда: $10 \cdot x_m + 5 \cdot x_{хл} = 100.$

2. Оптимизация полезности: Функция полезности имеет вид $U(x_m, x_{хл}) = x_m^{1/4} \cdot x_{хл}^{1/2}$.

Для оптимизации полезности при данном бюджетном ограничении используем условие равенства предельной полезности, деленной на цену каждого товара:

Рассчитаем предельные полезности:

1. $\frac{\partial U}{\partial x_m} = \frac{1}{4} x_m^{-3/4} \cdot x_{хл}^{1/2}$,
2. $\frac{\partial U}{\partial x_{хл}} = \frac{1}{2} x_m^{1/4} \cdot x_{хл}^{-1/2}$.

Запишем условие равенства предельной полезности на цену:

Решая это уравнение, получаем соотношение между $x_m$ и $x_{хл}$.

Шаг 2: Новое бюджетное ограничение при удвоении дохода

Теперь рассмотрим случай, когда доход увеличился в 2 раза, то есть до 200 руб. Новое бюджетное ограничение будет следующим: $10 \cdot x_m + 5 \cdot x_{хл} = 200.$

Подставим это новое ограничение в соотношение оптимального потребления, чтобы найти новое количество каждого продукта.

Заключение

Когда доход увеличивается в 2 раза, оптимальный набор потребителя (количество молока и хлеба) также увеличится пропорционально, так как оба продукта являются нормальными товарами и подчиняются постоянной эластичности в данной функции полезности.