За что Лермонтова сослали в ссылку?

Лермонтова сослали в ссылку дважды, и каждая ссылка была вызвана разными причинами, связанными как с его литературной деятельностью, так и с личным поведением.

Первая ссылка (1840 год)
Первая и наиболее известная ссылка произошла в 1840 году. Поводом для неё стало участие Лермонтова в дуэли с сыном французского посла — Эрнестом де Барантом. Дуэль произошла в Санкт-Петербурге. По законам того времени дуэли были запрещены, особенно среди офицеров, и строго карались. Хотя дуэль закончилась без жертв, сам факт участия в ней стал основанием для наказания. Кроме того, влияние оказало то, что у Лермонтова уже была «репутация неблагонадежного»: его дерзкий и независимый характер, вольнодумные стихи и поведение вызывали недовольство властей.

Вторая ссылка (1837 год)
На самом деле, первой по хронологии была ссылка в 1837 году, сразу после смерти Александра Сергеевича Пушкина. После трагической гибели поэта Лермонтов написал стихотворение «Смерть поэта», в котором обвинил высшее общество в его смерти. Эти строки были крайне резкими, почти обвинительными по отношению к аристократии и даже косвенно — к царю. Это вызвало гнев Николая I. В наказание Лермонтова отправили служить на Кавказ — формально не в ссылку, а в действующую армию, но по сути это было изгнание из столицы. Там он принимал участие в боевых действиях, проявил себя как смелый офицер и был даже представлен к награде, но недоброжелатели помешали этому.

Таким образом, обе ссылки были вызваны сочетанием литературной дерзости Лермонтова, его свободолюбивого характера и нарушений социальных норм и закона — сначала из-за стихотворения о смерти Пушкина, затем из-за участия в дуэли.