(16 / x^2-16) + (x / x+4) = 2 / x-4

Решение

1. Область определения

   Знаменатели не должны обращаться в ноль:

   • $x^2-16 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq \pm4$

   • $x+4 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq -4$

   • $x-4 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 4$

   Следовательно, допустимые значения: $x\neq\pm4$.

2. Преобразуем уравнение

   $$\frac{16}{x^2-16}+\frac{x}{x+4}=\frac{2}{x-4}.$$

   Разложим знаменатель $x^2-16=(x-4)(x+4)$:

   $$\frac{16}{(x-4)(x+4)}+\frac{x}{x+4}=\frac{2}{x-4}.$$

3. Сведение к общему знаменателю

   Приведём левую часть к знаменателю $(x-4)(x+4)$:

   $$\frac{16+x(x-4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{2}{x-4}.$$

   Умножим обе части на $(x-4)(x+4)$ (допустимо, так как $x\neq\pm4$):

   $$16+x(x-4)=2(x+4).$$

4. Получаем квадратное уравнение

   $$16+x^2-4x=2x+8 \;\Longrightarrow\; x^2-6x+8=0.$$

5. Находим корни

   $$D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4,\qquad x=\frac{6\pm\sqrt4}{2}= \frac{6\pm2}{2}.$$ $$x_1=4,\qquad x_2=2.$$

6. Отбрасываем недопустимый корень

   $x=4$ не входит в область определения, поэтому остаётся единственный кандидат $x=2$.

7. Проверка

   $$\frac{16}{2^2-16}+\frac{2}{2+4}= \frac{16}{-12}+\frac{2}{6}= -\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=-1,$$ $$\frac{2}{2-4}=\frac{2}{-2}=-1.$$

   Левая и правая части совпали, значит корень верен.

Ответ: $x = 2$.