Сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют 12 раз. Во сколь­ко раз ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет ровно 4 орла» мень­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «вы­па­дет ровно 5орлов»?​

Для решения задачи необходимо рассмотреть вероятности двух событий: выпадение ровно 4 орлов и выпадение ровно 5 орлов при 12 бросках симметричной монеты. Поскольку монета симметрична, вероятность выпадения орла или решки в каждом броске составляет 0,5. Задача решается с помощью формулы биномиального распределения.

Формула биномиального распределения имеет вид:

где:

• $n$ — общее число испытаний (в нашем случае $n = 12$);
• $k$ — число благоприятных исходов (выпадение орлов);
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании (выпадение орла, $p = 0.5$);
• $C_n^k$ — число сочетаний, которое можно найти по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$.

Теперь найдем вероятность для каждого из событий:

1. Вероятность события «выпадет ровно 4 орла» ($P(X = 4)$):

   $$P(X = 4) = C_{12}^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{12 - 4} = C_{12}^4 \cdot (0.5)^{12}$$

   Вычислим $C_{12}^4$:

   $$C_{12}^4 = \frac{12!}{4! \cdot (12 - 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = 495$$

   Подставляем в формулу:

   $$P(X = 4) = 495 \cdot (0.5)^{12} = 495 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{495}{4096}$$

2. Вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» ($P(X = 5)$):

   Аналогично, подставляем в формулу:

   $$P(X = 5) = C_{12}^5 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{12 - 5} = C_{12}^5 \cdot (0.5)^{12}$$

   Теперь находим $C_{12}^5$:

   $$C_{12}^5 = \frac{12!}{5! \cdot (12 - 5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = 792$$

   Тогда:

   $$P(X = 5) = 792 \cdot (0.5)^{12} = 792 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{792}{4096}$$

Теперь найдем, во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов»:

Ответ: вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, меньше вероятности того, что выпадет ровно 5 орлов в 1.6 раза.