Для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра экс­пе­ри­мен­таль­но была по­лу­че­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в кель­ви­нах) от вре­ме­ни ра­бо­ты: T(t) = [tex] T_{0} [/tex] + b*t + a*[tex] t^{2} [/tex], где t – время в ми­ну­тах, [tex] T_{0} [/tex] = 1600 К, a = -5 К/мин^2, b = 105 K . Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1870 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чить. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чить при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

По условию задачи температура нагревательного элемента изменяется по закону:

Известно, что:

• $T_0=1600$ К — начальная температура;

• $a=-5$ К/мин²;

• $b=105$ К/мин;

• $T=1870$ К — максимально допустимая температура.

Решение:

Подставим известные значения в формулу:

Чтобы прибор не испортился, температура не должна превышать 1870 К:

Перенесём все слагаемые в левую часть:

Разделим обе части на $-5$, изменив знак неравенства:

Найдём корни квадратного уравнения:

Вычислим дискриминант:

Получаем:

Это означает, что температура нагревателя превышает 1870 К в промежутке от 3 до 18 минут.

Поскольку прибор нагревается с момента включения, его необходимо отключить не позднее чем через 3 минуты, чтобы температура не превысила допустимое значение.

Ответ: 3 минуты.