Между какими двумя из трёх тел, сделанных из одного и того же вещества, сила тяготения будет наибольшей? Почему? m1 = 2 кг, m2 = 4 кг, m3 = 12 кг.

Если тела сделаны из одного и того же вещества и касаются друг друга, то их радиусы пропорциональны кубическим корням из масс: $R\propto \sqrt[3]{m}$. Сила притяжения между двумя шарами тогда

Посчитаем для пар:

• $m_1=2$ и $m_2=4$: $\sqrt[3]{2}\approx1{,}26$, $\sqrt[3]{4}\approx1{,}59$
  $F_{1,2}\propto \dfrac{2\cdot4}{(1{,}26+1{,}59)^2}\approx \dfrac{8}{(2{,}85)^2}\approx0{,}99$.

• $m_1=2$ и $m_3=12$: $\sqrt[3]{12}\approx2{,}29$
  $F_{1,3}\propto \dfrac{2\cdot12}{(1{,}26+2{,}29)^2}\approx \dfrac{24}{(3{,}55)^2}\approx1{,}91$.

• $m_2=4$ и $m_3=12$: $\sqrt[3]{4}\approx1{,}59$, $\sqrt[3]{12}\approx2{,}29$
  $F_{2,3}\propto \dfrac{4\cdot12}{(1{,}59+2{,}29)^2}\approx \dfrac{48}{(3{,}88)^2}\approx3{,}19$.

Максимальная сила получается между телами масс $4$ кг и $12$ кг. Причина: при одинаковой плотности расстояние между центрами (при контакте) растёт как сумма кубических корней масс, а числитель растёт как произведение масс; для более тяжёлой пары выигрыш в произведении превышает рост расстояния в квадрате.