С помощью теоремы Остроградского-Гаусса вывести формулу для расчёта напряжённости поля металлического шара, заряженного зарядом q. Построить график.

Вывод формулы напряжённости электрического поля заряженного металлического шара с помощью теоремы Остроградского — Гаусса

Дано: металлический шар радиусом $R$, заряженный зарядом $q$.

Найти: напряжённость электрического поля $E(r)$ внутри и снаружи шара и построить график зависимости $E$ от расстояния $r$ до центра шара.

1. Теорема Остроградского — Гаусса

Теорема Остроградского — Гаусса утверждает, что поток вектора напряжённости электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную:

где:

• $E$ — напряжённость электрического поля;

• $d\vec S$ — вектор элемента площади замкнутой поверхности;

• $q_{\text{внутр}}$ — заряд, находящийся внутри поверхности;

• $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф/м}$ — электрическая постоянная.

Рассмотрим изолированный металлический шар в состоянии электростатического равновесия. Весь избыточный заряд $q$ располагается на его поверхности. Благодаря сферической симметрии напряжённость поля на одинаковом расстоянии от центра имеет одинаковую величину.

В качестве гауссовой поверхности выберем воображаемую сферу радиусом $r$, центр которой совпадает с центром заряженного шара.

2. Напряжённость поля внутри шара ($r$)

Внутри металлического проводника в состоянии электростатического равновесия электрическое поле отсутствует, поскольку свободные заряды перераспределяются по поверхности проводника.

Гауссова поверхность радиусом $r$ не охватывает никакого избыточного заряда:

По теореме Остроградского — Гаусса:

С учётом сферической симметрии:

Следовательно,

Таким образом, напряжённость электрического поля внутри металлического шара равна нулю.

3. Напряжённость поля снаружи шара ($r>R$)

Рассмотрим сферическую гауссову поверхность радиусом $r>R$.

Внутри этой поверхности находится весь заряд шара $q$.

По теореме Остроградского — Гаусса:

В силу сферической симметрии напряжённость одинакова по модулю во всех точках выбранной поверхности и направлена по радиусу.

Поэтому:

Площадь сферической поверхности равна:

Подставляем: