Как правильно писать сыроешка или сыроежка

Правильно писать сыроежка — через "е" в корне слова.

Слово "сыроежка" происходит от глагола "есть сырое", то есть от привычки некоторых видов этих грибов не требовать длительной термической обработки — их можно есть почти сырыми. Это и дало название всему роду грибов.

"Сыроежка" — это существительное женского рода, в единственном числе. Во множественном числе — "сыроежки".

Форма "сыроешка" является орфографически неверной и не используется в литературной речи. Это может быть либо разговорное искажённое произношение, либо просто ошибка.

Поэтому: сыроежка — это правильный вариант.