Как правильно пишется "берёзонька"?

Слово «берёзонька» пишется именно так — через букву «ё» и с уменьшительно-ласкательным суффиксом -оньк-.

Это слово образовано от существительного «берёза» с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -онька, при этом происходит вставка соединительной буквы «н», что характерно для подобных слов (например, «душенька» от «душа»). Литературная норма требует написания через «ё», потому что в корне сохраняется та же буква, что и в исходном слове — «берёза».

Таким образом, правильно: берёзонька, а не березонька или березонка.