Как правильно разожгём или разожжём

Правильный вариант — «разожжём».

Глагол «разжечь» в форме будущего времени первого лица множественного числа (мы) спрягается как разожжём. Это обусловлено тем, что корень «жг» в этом глаголе в процессе спряжения подвергается чередованию: жечь — жгу — жжёшь — жжёт — жжём — жжёте — жгут.

Глагол «разожгём» имеет двойную приставку: «раз-» и «о-», и суффикс «-ж-» удваивается при спряжении. Это типично для глаголов с корнем, содержащим «жечь».

Форма «разожгём» является литературной и нормативной.
Форма «разожгем» — это орфографическая ошибка: здесь нарушено правило написания гласной «ё» после шипящих в глагольных окончаниях в форме первого лица множественного числа.

Пример в предложении:
– Мы быстро разожжём костёр и согреемся.