Являются ли все слова однокоренными: липа, липкий, липучий, липовый, липнуть?

Короткий ответ: нет, не все.

Поясню. В этих словах совпадает набор букв «лип-», но объединены они разными значениями, то есть относятся к двум разным семействам и представляют омонимичные корни.

1. Семья со значением «прилипать, клеиться»
   — липнуть, липкий, липучий.
   У всех этих слов общий смысл «клейкий, прилипает»: лип- + суффиксы (-ну-, -к-, -уч-).

2. Семья со значением «липа (дерево)»
   — липа, липовый (в значении «из липы»: липовый мёд, липовый веник).
   Здесь общий смысл — «относящийся к дереву липа»: лип- + суффиксы (-а, -ов-).

Замечание про «липовый»: у прилагательного есть ещё разговорное значение «поддельный» («липовый документ»), которое пошло от существительного «липа» в значении «подделка». Это тоже не про «клейкость» и не делает слово родственником «липнуть».

Итог: «липнуть/липкий/липучий» — однокоренные между собой; «липа/липовый» (о дереве) — однокоренные между собой. Но «липа» (дерево) и «липнуть» не считаются однокоренными в современном языке: одинаковая форма корня, но разное основное значение.