Как проверить слово "летнему"?

Слово «летнему» — это форма прилагательного летний (Д.п., ед.ч., м./ср. р.: какому? летнему).

Как проверить:

1. Безударная гласная в корне
   Корень лет-. Подбираем форму/однокоренное с ударением на эту гласную: лЕто, лЕтний. Ударение подтверждает букву Е в корне: лет-.

2. Окончание прилагательного
   В дательном падеже у мягких прилагательных (на -ий) пишется окончание -ему: к (какому?) летнему. Это не «проверяется», а пишется по правилу склонения прилагательных.

3. Одна Н
   Прилагательное образовано от существительного лето суффиксом -н- → пишется одна Н: летн-ему.

4. Сочетание тн
   Пишем обе согласные: тн — на стыке корня лет- и суффикса -н-. Произносится слитно ([тн’]), но в письме сохраняются обе буквы.

Итого: проверочное для корня — лЕто / лЕтний; правильное написание — летнему.