Как проверить первую букву Е в слове "развлечение"?

Коротко: это корневая е с чередованием е/ё. Проверяется формами, где на этот гласный падает ударение — там пишется ё.

Разбор:

• «развлечение» ← глагол «развлечь».

• В корне влеч-/влёк- под ударением появляется ё: влёк, развлечёт, развлечённый.

• Значит без ударения в однокоренных словах пишем е: развлЕчение, развлЕкать, развлЕкателный.

Итого, первую Е в «развлечение» проверяем словами развлёк, развлечёт, развлечённый (под ударением слышится ё).