Определить падеж имени существительного: в луже.

Это предложный падеж, ед. число: «в луже» отвечает на вопрос «в чём?», употребляется с предлогом в в значении места (нахождения), имеет типичное окончание -е для ж.р. 1-го склонения (луга/луги → лужа → в луже). Для сравнения: при движении было бы в лужу (винительный), а при нахождении — в луже (предложный).