По краям дороги — какой падеж?

Фраза "по краям дороги" использует форму родительного падежа. В данном случае "краям" — это форма множественного числа существительного "край" в родительном падеже, а "дороги" — форма родительного падежа от существительного "дорога".

Вместо "по краям" правильнее было бы сказать "по краю дороги", где "краю" — это дательный падеж. Однако в контексте фразы "по краям дороги" речь идет о местоположении, что предполагает использование родительного падежа во множественном числе для "края".