«Животный» и «жить» — однокоренные слова?

Короткий ответ: да, «животный» и «жить» однокоренные.

Развёрнуто. У обоих слов общий исторический корень ЖИВ- ‘жить, быть живым’. Это хорошо видно по ряду родственных форм: жить — живу — живой — жизнь — жизненный — оживить — живность — живот — животный. Здесь работают обычные для русского языка чередования и выпадение согласных: в инфинитиве жить конечное -в корня не проявляется, но в формах типа живу, живёшь оно возвращается; отсюда же жив- в живой, оживить и т. п.

Слово животный образовано через существительное живот. Сегодня «живот» чаще значит «брюхо», но исторически и в церковнославянской традиции живот = «жизнь» (ср. выражения «положить живот за…» = «пожертвовать жизнью»). От этого «живот» → «животный» первоначально = «относящийся к жизни, к живому». Позднее закрепилось сегодняшнее значение «относящийся к миру животных».

Морфемный разбор (в школьной норме):

• жить: корень жив-, суффикс нулевой, окончание нулевое, инфинитивный суффикс -ть (с выпадением в).

• животный: корень жив- + суффикс/сращение -от- (в составе основы живот-) + суф. -н- + окончание -ый.

Итого: несмотря на современную ассоциацию «животный» ↔ «живот (брюхо)», оба слова восходят к одному корню ЖИВ-, значит, они однокоренные.