«Я не сразу сообразил, что произошло». Что — союзное слово, так как в предложении является подлежащим. Придаточная часть — изъяснительная, так как отвечает на вопрос дополнения.

Я не знаю, что подарить тебе на день рождения.

Что — союз/союзное слово, так как в предложении является/не является подлежащим/членом предложения/дополнением.

Придаточная часть — определительная/изъяснительная, так как отвечает на вопрос определения/дополнения.

Он обрадовался, увидев, что буря не разрушила их старый дом.

Что — союз/союзное слово, так как в предложении является/не является подлежащим/дополнением/членом предложения.

Придаточная часть — изъяснительная/определительная, так как отвечает на вопрос...

В первом предложении разбор верный:

Я не сразу сообразил, что произошло.

Слово что — союзное слово, потому что в придаточной части оно является членом предложения: подлежащим.
Основа придаточного предложения: что произошло. Здесь что отвечает на вопрос что? и обозначает то, что произошло.

Придаточная часть — изъяснительная, потому что поясняет сказуемое главной части: сообразил (что?) — что произошло. Вопрос действительно соответствует вопросу дополнения.

Я не знаю, что подарить тебе на день рождения.

Слово что — союзное слово, а не союз, потому что оно является членом придаточного предложения — дополнением.

В придаточной части: что подарить тебе на день рождения.
Грамматическая основа выражена инфинитивом: подарить. Слово что отвечает на вопрос: подарить что? Следовательно, это дополнение.

Придаточная часть — изъяснительная, потому что раскрывает содержание того, чего именно не знает говорящий: не знаю (что?) — что подарить тебе на день рождения. Она отвечает на вопрос дополнения.

Он обрадовался, увидев, что буря не разрушила их старый дом.

Слово что — союз, потому что оно не является членом придаточного предложения.

В придаточной части есть грамматическая основа: буря не разрушила.
Подлежащее — буря, сказуемое — не разрушила, дополнение — их старый дом. Слово что нельзя задать какому-либо члену предложения вопрос и нельзя заменить другим членом предложения; оно только связывает части конструкции.

Придаточная часть — изъяснительная, потому что поясняет деепричастие увидев: увидев (что?) — что буря не разрушила их старый дом. Она отвечает на вопрос дополнения.