Какой частью речи является слово "вместе"?

Слово «вместе» является наречием.

Вот почему:

1. Обозначает обстоятельство. Слово «вместе» отвечает на вопрос «как?» и обозначает способ действия, например:
   — Мы пошли в кино вместе.
   Здесь «вместе» указывает, как они пошли — совместно, одновременно, в компании друг с другом.

2. Не изменяется. Наречия, в отличие от прилагательных, не изменяются по числам, родам и падежам. Мы не можем сказать: «вместый», «вместая» или «вместого» — это признаки того, что слово не является ни прилагательным, ни существительным.

3. Не сочетается с существительными напрямую. В отличие от предлогов, наречие «вместе» не требует за собой существительного в определённой форме. Например, в словосочетании «вместе с друзьями» — наречие «вместе» используется в сочетании с предлогом «с», который уже управляет существительным «друзьями». Это устойчивое сочетание, но само слово «вместе» — наречие.

4. Можно заменить на другое наречие. Признаком наречий также является возможность замены на синонимичные наречия:
   — Мы пришли вместе → Мы пришли одновременно / совместно.

Таким образом, по всем признакам слово «вместе» — это наречие, обозначающее совместность или одновременность действия.