Кое-где — какая часть речи?

Слово «кое-где» является наречием. Оно указывает на неопределённое место, то есть отвечает на вопрос «где?», но при этом не называет конкретное место, а лишь указывает, что что-то происходит в каком-то неопределённом или случайном месте.

Это наречие образовано при помощи частицы «кое-», которая придаёт значению дополнительный оттенок неопределённости. Такие наречия с приставкой «кое-» (например, «кое-как», «кое-где», «кое-когда») характерны для разговорной и письменной речи.

Пример употребления:

• Кое-где на стенах ещё осталась старая краска.
  Здесь «кое-где» означает, что краска осталась в некоторых, но не всех местах на стенах — то есть указывает на разрозненные, неуточнённые участки.

Таким образом, «кое-где» — это наречие места, выражающее неопределённость в указании местоположения.