Fe+HNO3=N2+H2O+Fe(NO3)3

Вот как уравнять реакцию:

Ищем коэффициенты в уравнении

Пусть коэффициенты:
$a$,Fe + $b$,HNO$_3$ → $c$,N$_2$ + $d$,H$_2$O + $e$,Fe(NO$_3$)$_3$.

1. По железу: $a=e$.

2. По азоту: $b = 2c + 3e$ (в N$_2$ — $2c$ атома N, в Fe(NO$_3$)$_3$ — $3e$).

3. По водороду: $b = 2d$ ⇒ $d = b/2$.

4. По кислороду: $3b = d + 9e$ ⇒ $3b = b/2 + 9e$ ⇒ $5b = 18e$.

Из $5b=18e$ получаем $b=\frac{18}{5}e$, значит $e$ кратно 5: положим $e=10$ ⇒ $b=36$. Тогда
$d=b/2=18$.
Из баланса азота: $36 = 2c + 3\cdot 10$ ⇒ $2c=6$ ⇒ $c=3$.
И $a=e=10$.

Итоговое уравнение:

Проверка: Fe $10=10$; N $36=6+30$; H $36=36$; O $108=18+90$. Всё сходится.