Сколько различных трёхзначных чисел, записанных в четверичной системе счисления, в записи которых цифры слева направо в строго убывающем порядке?

Чтобы найти количество различных трёхзначных чисел, записанных в четверичной системе счисления (где используются цифры 0, 1, 2, 3), с цифрами, расположенными в строго убывающем порядке, необходимо учитывать несколько факторов.

1. Возможные цифры: В четверичной системе счисления используются цифры 0, 1, 2 и 3. Поскольку числа должны быть трёхзначными, первая цифра не может быть 0.

2. Строго убывающий порядок: Для числа, записанного в строго убывающем порядке, все три цифры должны быть разными, и они должны быть выбраны из множества {0, 1, 2, 3}.

3. Выбор цифр: Поскольку мы можем использовать только различные цифры и они должны быть в строгом порядке, это значит, что мы должны выбрать 3 разные цифры из доступных 4 (0, 1, 2, 3).

4. Комбинации: Чтобы выбрать 3 цифры из 4, мы можем использовать комбинации. Формула для сочетаний выглядит следующим образом:

   $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

   где $n$ — общее количество доступных цифр, а $k$ — количество цифр, которые мы выбираем.

   В нашем случае $n = 4$ (0, 1, 2, 3) и $k = 3$:

   $$C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = 4$$

5. Проверка на корректность: Каждая выбранная комбинация цифр будет автоматически находиться в строго убывающем порядке, если они все разные. Например, если мы выберем 0, 1 и 2, число будет записано как 210, что соответствует строго убывающему порядку.

6. Результаты: Мы можем перечислить возможные комбинации:

   • 321
   • 320
   • 310
   • 210

Таким образом, существует всего 4 различных трёхзначных числа, записанных в четверичной системе счисления, в записи которых цифры слева направо находятся в строго убывающем порядке.