Думал на протяжении пары секунд

Алгоритм для построения равностороннего треугольника размером в 5 клеток.

Вот рабочий «пошаговик», как построить равносторонний треугольник со стороной ровно 5 клеток на обычной клетчатой бумаге. Пишу как пользователь Q&A, без заумностей ?

Вариант 1. Классическая геометрия (линейка + циркуль)

Что считаем “5 клеток”: длина стороны — это расстояние между центрами двух узлов сетки, отделённых на 5 шагов по горизонтали/вертикали или по диагонали сетки. Проще всего — взять горизонтальный отрезок на 5 клеток.

1. Задаём базу. Поставьте две точки на одной горизонтали так, чтобы между ними было ровно 5 клеток. Обозначим их $A$ и $B$.

2. Отмеряем радиус. Разведите циркуль на расстояние ровно 5 клеток (такое же, как $AB$). Удобно мерить по узлам сетки: игла на $A$, ножка — на $B$.

3. Две окружности.
   – С центром в $A$ проведите дугу (или окружность) радиуса 5 клеток.
   – С центром в $B$ проведите такую же дугу.

4. Находим третью вершину. Дуги пересекутся в двух точках (над и под отрезком $AB$). Любая даёт равносторонний треугольник. Выберите одну точку пересечения и обозначьте её $C$.

5. Соединяем. Линейкой проведите отрезки $AC$ и $BC$. Получился равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 5 клеток.

Почему это работает: окружность с центром в $A$ собирает все точки на расстоянии 5 клеток от $A$; окружность с центром в $B$ — от $B$. Их пересечения как раз равноудалены и от $A$, и от $B$, значит все три стороны $AB$, $BC$, $CA$ равны одной и той же длине — 5 клеток.

Лайфхак: если нужна вершина строго “над” основанием, берите верхнюю точку пересечения; если хотите перевёрнутый треугольник — нижнюю.

Вариант 2. Если рисуете в “клеточках” без циркуля (на планшете/в тетради от руки)

Это вариант аппроксимации на квадратной сетке, когда хотите “ступенчатые” стороны под ~60°.

1. Основание: отметьте 5 клеток по горизонтали —$A$ и $B$ на концах.

2. Высота: теоретическая высота равностороннего треугольника со стороной 5 — $h = 5\cdot \sqrt{3}/2 \approx 4{,}33$ клетки. Значит вершину $C$ ставим примерно над серединой $AB$, на 4–5 клеток вверх (по вкусу: 4 — ниже и “плотнее”, 5 — чуть острее).

3. Боковые “ступеньки”: чтобы примерно держать угол 60°, от середины к вершине распределяйте подъём так, чтобы на каждые 3 шага по диагонали был примерно 1 горизонтальный (соотношение близко к $\tan 60^\circ \approx 1{,}732$). На практике для 5 клеток удобно идти паттерном подъёма по клеткам: 2, 2, 2, 2, 1 вертикально на каждые 5 горизонтальных шагов — даст аккуратную “лесенку”.

Итог получится визуально равносторонним для клетчатой бумаги/пикселей.

Вариант 3. Алгоритмически (для кода/графики в пикселях)

Если задача программная, берите любую растеризацию прямых (например, Брезенхема):

1. Задайте вершины:
   $A=(x_0, y_0)$, $B=(x_0+5, y_0)$, $C=(x_0+2{,}5,\; y_0+5\cdot \sqrt{3}/2)$.

2. Проведите три отрезка $AB$, $BC$, $CA$ алгоритмом Брезенхема/ДДА (для наклонных сторон — с плавающей ошибкой, т.к. наклон $\pm \sqrt{3}$).

3. Для заливки — сканлайны: для каждой целой $y$ найдите пересечения с рёбрами и закрасьте между левым и правым.

Это даст максимально “равностороннюю” фигуру на квадратной сетке.

Если нужна только классика для тетради — берёте циркуль, отмеряете 5 клеток, две дуги из концов основания и соединяете. Готово.