Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

ДЕЛ(110, A) ∧ ((ДЕЛ(x, 80) ∧ ДЕЛ(x, 75)) → ДЕЛ(x, A))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Рассмотрим условия, при которых формула

ДЕЛ(110, A) ∧ ((ДЕЛ(x, 80) ∧ ДЕЛ(x, 75)) → ДЕЛ(x, A))

тождественно истинна при любом натуральном x.

1. Первое условие

ДЕЛ(110, A)

Это означает, что число 110 делится на A без остатка, то есть:

A | 110.

Разложим 110:
110 = 2 · 5 · 11.

Значит, A может быть любым делителем числа 110.

2. Второе условие (импликация)

(ДЕЛ(x, 80) ∧ ДЕЛ(x, 75)) → ДЕЛ(x, A)

Импликация ложна только тогда, когда:

• x делится на 80 и на 75,

• но не делится на A.

Значит, чтобы формула была тождественно истинна, нужно, чтобы любое число x, делящееся и на 80, и на 75, обязательно делилось и на A.

Иными словами:

если x кратно НОК(80, 75), то x должно быть кратно A.

3. Находим НОК(80, 75)

80 = 2⁴ · 5
75 = 3 · 5²

НОК(80, 75) = 2⁴ · 3 · 5² = 16 · 3 · 25 = 1200.

4. Что означает условие для A

Нужно, чтобы любое число вида 1200k делилось на A.

Это возможно тогда и только тогда, когда:

A | 1200.

Иначе можно взять x = 1200, и он нарушит импликацию.

5. Совмещаем оба условия

Итак:

A должно делить одновременно:

• 110,

Значит:

A | gcd(110, 1200).

6. Находим НОД

110 = 2 · 5 · 11
1200 = 2⁴ · 3 · 5²

Общие простые множители: 2 и 5

gcd(110, 1200) = 2 · 5 = 10.

7. Ответ

Наибольшее натуральное A:

10