Для какого минимального натурального числа А, логическое выражение ¬(x делится на 39) → ((x делится на 3) → ¬(x де- лится на A)). тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом целом значении переменной х)? 3

Рассмотрим логическое выражение:

Здесь знак $\to$ обозначает логическое «если..., то...», а $\neg$ — отрицание. Вопрос заключается в том, для какого наименьшего значения $A$ это выражение будет тождественно истинным, то есть истинным для любых целых $x$.

Разберем выражение по частям:

1. $x$ делится на $39$ означает, что $x$ делится и на $3$, и на $13$ (так как $39 = 3 \times 13$).
2. Чтобы выражение было тождественно истинным, оно должно быть истинным для всех $x$, включая те значения $x$, которые делятся и не делятся на $3$, $13$, и $39$.

Теперь разложим выражение подробнее и рассмотрим его при различных значениях делимости.

Шаги решения

1. Выражение $\neg(x \text{ делится на } 39)$ истинно, когда $x$ не делится на $39$.
2. Внутреннее выражение $(x \text{ делится на } 3) \to \neg(x \text{ делится на } A)$ требует, чтобы если $x$ делится на $3$, то $x$ не должен делиться на $A$.

Таким образом, основное требование — подобрать минимальное $A$ так, чтобы, когда $x$ делится на $3$, $x$ не делился на $A$, и при этом соблюдалась тождественная истинность выражения.

Проверка значений для $A$

Чтобы выражение было истинным, можно рассмотреть случаи, когда $A$ принимает минимальные значения.

• Если $A = 13$: Когда $x$ делится на $3$, выражение $(x \text{ делится на } 3) \to \neg(x \text{ делится на } 13)$ означает, что $x$ не должен делиться на $13$. Это условие выполняется, так как 13 не входит в кратные числа при делении на $3$.

Проверим, что $A = 13$ подходит, так как оно удовлетворяет всем условиям