На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула(
(x принадлежит P) → (x принадлежитQ) ) \/ ( (x принадлежит A) → (x принадлежит R) )тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.1) [10, 20] 2) [15, 25] 3) [20, 30] 4)[120, 130]

Для того чтобы разобраться с этим вопросом, давай подробно разберем, что требуется и как правильно подойти к решению.

Условия задачи:

Даны три отрезка:

• $P = [10, 40]$
• $Q = [5, 15]$
• $R = [35, 50]$

Нужно выбрать такой отрезок $A$, что формула:

является тождественно истинной, то есть для любого $x$ на числовой прямой она должна принимать значение 1 (истинна).

Давайте разберем, что значит каждая часть этой формулы:

1. Импликация $(x \in P) \rightarrow (x \in Q)$:
   Эта импликация будет истинной в двух случаях:

   • Если $x \notin P$ (то есть $x$ не лежит на отрезке $P$),
   • Или если $x \in P$ и одновременно $x \in Q$.
     Это означает, что если $x$ лежит в $P$, то оно также должно лежать в $Q$.

   Теперь рассмотрим пересечение $P$ и $Q$:
   $P = [10, 40]$, $Q = [5, 15]$, их пересечение — это отрезок $[10, 15]$. Значит, если $x \in P$, то оно должно также быть в $Q$, то есть $x \in [10, 15]$. В остальных случаях импликация будет истинной.

2. Импликация $(x \in A) \rightarrow (x \in R)$:
   Эта импликация также будет истинной в двух случаях:

   • Если $x \notin A$ (то есть $x$ не лежит на отрезке $A$),
   • Или если $x \in A$ и одновременно $x \in R$.
     Это означает, что если $x$ лежит в $A$, то оно должно лежать в $R$.

   Отрезок $R$ равен $[35, 50]$, поэтому $x$ должно лежать в этом интервале, если оно лежит в $A$.

Обсуждение вариантов для отрезка $A$:

Чтобы формула была тождественно истинной, нужно, чтобы либо первая импликация, либо вторая импликация была истинной для всех значений $x$.

Рассмотрим различные варианты для $A$:

1. $A = [10, 20]$:

   • Для $x \in A = [10, 20]$ должна быть выполнена импликация $(x \in A) \rightarrow (x \in R)$.
     Поскольку $A = [10, 20]$, а $R = [35, 50]$, то для любого $x \in A$, $x$ не будет лежать в $R$, и импликация будет ложной.
     Следовательно, этот вариант не подходит.

2. $A = [15, 25]$:

   • Для $x \in A = [15, 25]$ также должна выполняться импликация $(x \in A) \rightarrow (x \in R)$.
     Здесь $A = [15, 25]$, а $R = [35, 50]$. Все элементы $A$ лежат за пределами $R$, следовательно, импликация снова ложная.
     Этот вариант тоже не подходит.

3. $A = [20, 30]$:

   • Для $x \in A = [20, 30]$ снова нужно, чтобы $x \in R = [35, 50]$. Но $A = [20, 30]$ не пересекается с $R$, и импликация будет ложной.
     Значит, этот вариант тоже не подходит.

4. $A = [120, 130]$:

   • Для $x \in A = [120, 130]$ импликация $(x \in A) \rightarrow (x \in R)$ будет истинной, потому что $x \notin A$, а значит импликация истинна независимо от того, принадлежит ли $x$ отрезку $R$.
     Этот вариант гарантирует истинность второй части формулы, так как $A$ не пересекается с $R$, и импликация всегда будет выполнена.

Ответ:

Из всех предложенных вариантов только отрезок $A = [120, 130]$ гарантирует, что формула будет тождественно истинной для всех значений $x$. Таким образом, правильный ответ — 4) [120, 130].