Вася бросает мяч со скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту Васе нужно бросить мяч, чтобы попасть в мишень на высоте 4 м на расстоянии 10 м? В момент броска мяч находится на высоте 2 м.

Для решения задачи о движении мяча, брошенного под углом, необходимо учитывать законы кинематики. Рассмотрим, как найти угол броска, чтобы мяч попал в мишень на высоте $y = 4 \, \text{м}$ и на расстоянии $x = 10 \, \text{м}$, когда начальная скорость равна $v_0 = 12 \, \text{м/с}$, а начальная высота мяча составляет $y_0 = 2 \, \text{м}$.

Шаг 1. Уравнения движения

Движение мяча описывается следующим образом:

1. По горизонтали:

   $$x = v_0 \cdot \cos\theta \cdot t$$

   где $\theta$ — угол броска, $t$ — время полета.

2. По вертикали:

   $$y = y_0 + v_0 \cdot \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$$

   где $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Известно, что $x = 10 \, \text{м}$ и $y = 4 \, \text{м}$. Нам нужно найти угол $\theta$, при котором выполняются оба уравнения.

Шаг 2. Выразим время $t$

Из уравнения для горизонтального движения выразим $t$:

Подставляем $x = 10 \, \text{м}$ и $v_0 = 12 \, \text{м/с}$:

Шаг 3. Подставим $t$ в уравнение вертикального движения

Подставим выражение для $t$ в уравнение вертикального движения:

Упростим:

Подставим известные значения: $y = 4 \, \text{м}$, $y_0 = 2 \, \text{м}$, $x = 10 \, \text{м}$, $v_0 = 12 \, \text{м/с}$, $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$:

Упростим:

где $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$.

Шаг 4. Решение уравнения

Обозначим $\tan\theta = z$, тогда $\sec^2\theta = 1 + z^2$. Уравнение становится:

Упростим: