Сколько существует чисел, делящихся на 5, десятичная запись которых содержит 8 цифр, причем все цифры различны и никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом

Для решения этого вопроса нужно разбить задачу на несколько шагов и учитывать все условия: число делится на 5, состоит из 8 различных цифр, и никакие две четные или две нечетные цифры не стоят рядом.

1. Число, делящееся на 5: Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Так как все цифры должны быть различными, и число не может начинаться с нуля, остается вариант только с 5 на конце.

2. 8 различных цифр: Теперь у нас остается 7 позиций, которые должны быть заполнены уникальными цифрами (0-9, исключая 5).

3. Чередование четных и нечетных цифр: Число должно чередовать четные и нечетные цифры. Поскольку наша последняя цифра (5) нечетная, мы должны начинать с четной цифры и чередовать их.

Теперь мы можем посчитать количество таких чисел:

• Первая цифра: Может быть одной из 4 четных цифр (2, 4, 6, 8). Но не может быть нулем, так как число не должно начинаться с нуля.
• Вторая цифра: Может быть одной из 4 нечетных цифр (1, 3, 7, 9), так как 5 уже на конце.
• Третья цифра: Теперь 3 четные цифры остались (из 2, 4, 6, 8, исключив первую четную цифру).
• Четвертая цифра: 3 нечетные цифры остались (1, 3, 7, 9, исключив вторую нечетную цифру).
• Пятая цифра: 2 четные цифры остались.
• Шестая цифра: 2 нечетные цифры остались.
• Седьмая цифра: Осталась 1 четная цифра.
• Восьмая цифра: Уже определена, это 5.

Итак, общее количество таких чисел будет произведением количества возможных вариантов для каждой позиции: 4 (четные) × 4 (нечетные) × 3 (четные) × 3 (нечетные) × 2 (четные) × 2 (нечетные) × 1 (четные). Помните, последняя цифра всегда 5 и не влияет на количество комбинаций.

Рассчитаем:

Таким образом, существует 576 чисел, которые удовлетворяют всем заданным условиям: делятся на 5, содержат 8 различных цифр, и в которых никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом. ​​