Ирина, Полина и Ольга- высококвалифицированные специалисты по составлению контрольных заданий по экономике. За восьмичасовой рабочий день Ирина может составить 4 задачи или 24 тестовых вопроса, Полина- 8 задач или 24 тестовых вопроса, Ольга- 6 задач или 30 тестовых вопросов. Постройте кривую производственных возможностей команды, состоящих из Ирины, Полины и Ольги. Определите минимальное время, необходимое им на составление экзаменационного задания, состоящего из 50 тестовых вопросов и 10 задач. При этом предполагается, что каждая задача и каждый тестовый вопрос имеют только одного составителя.

Чтобы построить кривую производственных возможностей (КПВ) команды Ирины, Полины и Ольги и определить минимальное время, необходимое для выполнения задания, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Определим производственные возможности каждой участницы

Каждая участница работает 8 часов в день и может составлять задачи или тестовые вопросы в разном соотношении:

• Ирина:
  • 4 задачи за 8 часов → 1 задача за 2 часа.
  • 24 тестовых вопроса за 8 часов → 1 тестовый вопрос за $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ часа.
• Полина:
  • 8 задач за 8 часов → 1 задача за 1 час.
  • 24 тестовых вопроса за 8 часов → 1 тестовый вопрос за $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ часа.
• Ольга:
  • 6 задач за 8 часов → 1 задача за $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ часа.
  • 30 тестовых вопросов за 8 часов → 1 тестовый вопрос за $\frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ часа.

Каждая из них может распределять своё время между задачами и тестовыми вопросами, что позволит нам рассчитать предельные точки КПВ для всей команды.

Шаг 2: Построим КПВ команды

Предположим, что все три участницы полностью посвящают время составлению либо задач, либо тестовых вопросов.

1. Максимум задач:

• Ирина: 8 часов / 2 часа на задачу = 4 задачи.
• Полина: 8 часов / 1 час на задачу = 8 задач.
• Ольга: 8 часов / $\frac{4}{3}$ часа на задачу = 6 задач.

Итого: $4 + 8 + 6 = 18$ задач, если все работают только над задачами.

2. Максимум тестовых вопросов:

• Ирина: 8 часов / $\frac{1}{3}$ часа на тестовый вопрос = 24 тестовых вопроса.
• Полина: 8 часов / $\frac{1}{3}$ часа на тестовый вопрос = 24 тестовых вопроса.
• Ольга: 8 часов / $\frac{4}{15}$ часа на тестовый вопрос = 30 тестовых вопросов.

Итого: $24 + 24 + 30 = 78$ тестовых вопросов, если все работают только над тестовыми вопросами.

КПВ:

Команда может распределять усилия между задачами и тестовыми вопросами, заполняя промежуточные точки между крайними значениями $(18, 0)$ и $(0, 78)$.

Шаг 3: Решение задачи на составление 10 задач и 50 тестовых вопросов

Задание: составить 10 задач и 50 тестовых вопросов за минимальное время. Разделим работу так, чтобы минимизировать общее время.

1. Определим долю работы каждой участницы:

   • Полина эффективнее всего справляется с задачами (1 час на задачу).
   • Ольга наиболее эффективна в составлении тестовых вопросов ($\frac{4}{15}$ часа на вопрос).
   • Ирина может быть задействована на обоих типах задач, чтобы дополнить команду.

2. Распределим составление задач:

   • Полина составляет все 8 задач за $8 \times 1 = 8$ часов.
   • Ирина составляет оставшиеся 2 задачи за $2 \times 2 = 4$ часа.
   • Все задачи выполнены за 8 часов (самое большее время из двух).

3. Распределим составление тестовых вопросов:

   • Ольга составляет $30$ вопросов за $30 \times \frac{4}{15} = 8$ часов.
   • Полина и Ирина распределяют оставшиеся $50 - 30 = 20$ вопросов.
     • Полина составляет 12 вопросов за $12 \times \frac{1}{3} = 4$ часа.
     • Ирина составляет 8 вопросов за $8 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$ часа.
   • Общее время на тестовые вопросы также составляет 8 часов.

Ответ:

• Минимальное время для выполнения задания: 8 часов.
• Распределение работы:
  • Полина: 8 задач и 12 тестовых вопросов.
  • Ольга: 30 тестовых вопросов.
  • Ирина: 2 задачи и 8 тестовых вопросов.