х-8/х+4>2

Чтобы решить неравенство $\frac{x - 8}{x + 4} > 2$, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Приведение неравенства к общему виду

Для начала перенесем все выражения на одну сторону неравенства, чтобы сравнить их с нулем. Для этого вычтем 2 из обеих частей:

Чтобы выполнить вычитание дроби и числа, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого представим 2 как дробь с таким же знаменателем:

Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель, и мы можем вычесть числители:

Упростим числитель:

Теперь неравенство выглядит так:

Шаг 2: Анализ знаков дроби

Чтобы решить неравенство, нужно найти, при каких значениях $x$ дробь положительна. Для этого рассмотрим числитель и знаменатель.

Числитель $-x - 16$ меняет знак в точке $x = -16$, то есть числитель будет отрицателен при $x > -16$ и положителен при $x < -16$.

Знаменатель $x + 4$ меняет знак в точке $x = -4$, то есть знаменатель будет отрицателен при $x < -4$ и положителен при $x > -4$.

Шаг 3: Решение неравенства

Теперь проанализируем, при каких значениях $x$ дробь будет положительной:

1. Если $x < -16$: числитель $-x - 16$ будет положителен, а знаменатель $x + 4$ — отрицателен. Получается, что дробь будет отрицательной, так что это не подходит.

2. Если $-16 < x < -4$: числитель $-x - 16$ будет отрицателен, а знаменатель $x + 4$ тоже отрицателен. Положительная дробь, так что это подходит.

3. Если $x > -4$: числитель $-x - 16$ будет отрицателен, а знаменатель $x + 4$ — положителен. Получается, что дробь будет отрицательной, так что это не подходит.

Шаг 4: Исключение значений, при которых знаменатель равен нулю

Знаменатель $x + 4$ не может быть равен нулю, иначе дробь станет неопределенной. То есть $x \neq -4$.

Итог

Решением неравенства является интервал $(-16, -4)$.