Решеня y=x^3+6x^2+9x наидити уmin y max

Ищу экстремумы функции $y=x^3+6x^2+9x$.

1. Производная:

Критические точки: $x=-3$ и $x=-1$.

2. Второй производной тест:

— При $x=-3$: $y''=-6<0$ ⇒ локальный максимум.
— При $x=-1$: $y''=6>0$ ⇒ локальный минимум.

3. Значения функции в этих точках (удобно заметить, что $y=x(x+3)^2$):

Итог:

• Локальный максимум: $y_{\max}^{\text{loc}}=0$ при $x=-3$.

• Локальный минимум: $y_{\min}^{\text{loc}}=-4$ при $x=-1$.

Так как это кубическая функция с положительным старшим коэффициентом, глобального максимума и минимума на $\mathbb{R}$ нет (при $x\to-\infty$ $y\to -\infty$, при $x\to+\infty$ $y\to+\infty$).